Entrega 3.

Para esta entrega seleccione el ejercicio B.3.15 el cual consiste en:
Obtener una representación en el espacio de estados del sistema mecánico de la figura 3.80,
donde u1 y u2 son entradas e y1 e y2 son salidas.

Representación en el espacio de estados:

La representación de un sistema en espacio de estados permite relacionar las variables de entrada u(t) y de salida y(t) mediante una ecuación diferencial matricial de primer orden (Ecuación de Estado) y una combinación lineal de la entrada y los estados x(t) (Ecuación de Salida) de la forma:

Ecuación de Estado:
$\frac{dx(t)}{dt}= Ax(t)+Bu(t)$
Ecuación de salida:
 $y(t)=Cx(t)+Du(t)$
La teoría que representa los sistemas mecánicos es la Segunda Ley de Newton, donde tenemos las sumatoria de fuerzas que intervienen en el sistema.

$\sum Fext=ma$

Las variables de estado que intervienen en el comportamiento del sistema son las siguientes:
$u_{1}$ y $u_{2}$ = fuerzas aplicadas y son las entradas del sistema
En el sistema se muestran 2 fuerzas aplicadas estas son a las 2 masas que intervienen en el sistema $m_{1}$ y $m_{2}$

$k_{1}$ y $k_{2}$ representa la constante de elastica.
b es la constante de biscosidad
$y_{1}$ y $y_{2}$ son las salidas del sistema.

Tomando en cuenta las ecuaciones anteriores pasamos a la solución del problema

1. Esta es la ecuación de la sumatoria de las fuerzas para las dos masas representadas en el sistema.
 $m_{1}\ddot{y_{1}}+ b_{1}(\dot{y_{_{1}}})-\dot{y_{2}}+k_{1}y_{1}=u_{1}$

$m_{1}\ddot{y_{1}}+ b_{1}(\dot{y_{_{1}}})-\dot{y_{2}}+k_{1}y_{1}=u_{1}$

2. Variables de desplazamiento
$x_{1}= y_{1}$
$x_{2}= \dot{y_{1}}$
$x_{3}= y_{2}$
$x_{4}= \dot{y_{2}}$

3.Aquí obtenemos las ecuaciones diferenciales para encontrar las salidas del sistema
$m_{1}\dot{x_{2}}+b_{1}(x_{2}-x_{4})+k_{1}x_{1}=u_{1}$
$m_{2}\dot{x_{4}}+b_{1}(x_{4}-x_{2})+k_{2}x_{3}=u_{2}$

4. Obteniendo la representación de las salidas o ecuación final del sistema
$\dot{x_{1}}=x_{2}$

$\dot{x}_{2}= -1/m_{1}[b_{1}(x_{2}- x_{4})+k_{1}x_{1}]+ (1/m_{1})u_{1}$

$\dot{x_{3}}=x_{4}$

Representación en el espacio de los estados dentro del sistema. 
$\dot{x}_{4}= -1/m_{2}[b_{1}(x_{4}- x_{2})+k_{2}x_{3}]+ (1/m_{2})u_{2}$