Lab 4. Problema 5.11

Considere el sistema de la Figura 5.85 determine el valor de k de modo que el factor de amortiguamiento  $\zeta$ sera 0.5. Después obtenga el tiempo de salida $t_{r}$ , el tiempo pico tp $t_{p}$, la sobreelongacion maxima $M_{p}$ y el tiempo de asentamiento $t_{s}$, en la respuesta escalon unitario.


El valor de "k" obtenido mediante la función de transferencia mostrada en la figura es el siguiente:



$\frac{C(s) }{R(s)}= \frac{16}{s^{2}+(0.8+16k)s+16}$

 $W_{n}= 4$

 $25W_{n} = (2)(0.5)(0.4)= 0.8 + 16k$

Finalmente el valor de "K"

$k = 0.2$

 

Valores de $W_{d}$ y $\beta$
$W_{d}= W_{n}\sqrt{1-5^{2}}= 4\sqrt{1-0.25}= 3.46$

$\beta = sin^{-1}\frac{W_{d}}{W_{n}}= sin^{-1}(0.866)= \frac{\Pi }{3}$

Obteniendo los valores del tiempo de salida  $t_{r}$
$t_{r}=\frac{\Pi -\beta }{W_{d}}$ $t_{r}=\frac{\Pi -1/3\Pi }{3.46}= 0.605 seg$

Tiempo pico del sistema se obtiene de la siguiente manera:
$t_{p}=\frac{\Pi }{W_{d}}=\frac{3.1416}{3.46}=0.907 seg$

Para sacar la sobreelongación máxima $M_{p}$ utilizaremos la siguiente formula:

$M_{p}= e^{-\frac{\zeta \Pi }{\sqrt{1-\zeta ^{2}}}}$
$M_{p}= e ^{-\frac{(0.5)(3.1416) }{\sqrt{1-(0.25)}}}$
$M_{p}= e ^{-1.314}=0.163$

Por ultimo para sacar el tiempo de asentamiento utilizamos la siguiente formula con el valor de $W_{n}$ obtenido anteriormente
$t_{s}=\frac{4}{\zeta W_{n}}= \frac{4}{(0.5)(4)}= 2 seg$